Lê Văn Trường sinh năm 1995, quê ở Vĩnh Phúc. Quá trình phát triển của thủ môn cao 1m78 này hoàn toàn dựa trên bản năng khi từ nhỏ em chỉ được bố mẹ mua cho trái bóng và tự chơi quanh bức tường trước nhà. Trường thường tập sút thật mạnh vào tường rồi tự phán đoán hướng để bắt lại trái bóng đó.
Đến năm học lớp 9, tố chất của Trường được thầy môn giáo dục thể chất phát hiện và gửi lên tập cùng đội U15 Ninh Bình dự giải U15 Quốc gia 2009 tại Nha Trang. Tuy nhiên giải này Trường không được bắt chính bất cứ trận nào, sau đó em lại trở về Vĩnh Phúc tiếp tục học văn hóa và tham gia các trận bóng phủi ở vị trí thủ môn quen thuộc.
Đến năm 2012 là bước ngoặt trong sự nghiệp của thủ môn Lê Văn Trường khi thầy Đào Việt Hà giới thiệu em thi tuyển vào lớp năng khiếu của lò đào tạo bóng đá trẻ HAGL. Do cùng lứa tuổi với các bạn năng khiếu khóa 1 nên Trường được đặc cách vượt lớp để gia nhập cùng các đồng đội đã theo học ở đây từ năm 2007. Với tố chất về phản xạ và khả năng phán đoán rất nhanh, sau chưa đầy 1 năm đào tạo bài bản, Trường được các thầy ở Học viện HAGL Arsenal-JMG xin chuyển từ lớp năng khiếu sang tập luyện cùng lứa gà nòi Công Phượng, Xuân Trường, Tuấn Anh...
Thời gian sau đó, Lê Văn Trường cùng lứa U19 HAGL làm mưa làm gió ở các giải trẻ, rồi cùng U19 Việt Nam gây tiếng vang tại vòng loại U19 châu Á 2014 khi thắng U19 Australia tới 5-1. Mùa giải 2015, cùng những Công Phượng, Xuân Trường, Tuấn Anh... Lê Văn Trường được đôn lên đội 1 HAGL và cùng Văn Tiến cạnh tranh cho vị trí số 1 trong khung gỗ.
Tuy vậy, suốt 8 năm qua, sự nghiệp của Lê Văn Trường đã diễn ra không bằng phẳng. Vì những lý do khác nhau, như HAGL chiêu mộ thủ môn ngoại, đặt niềm tin vào một người gác đền dày dạn kinh nghiệm hoặc chính bản thân dính chấn thương, Lê Văn Trường không có nhiều cơ hội bắt chính tại phố Núi. Mùa trước, anh trải qua một ca phẫu thuật đầu gối và thậm chí còn chẳng ra sân trận nào.
Nhận thấy mình khó lòng cạnh tranh vị trí chính thức ở HAGL mùa tới và cũng đã hết hạn hợp đồng, nên cũng giống như các bạn cùng trang lứa như Công Phượng, Văn Toàn, Hồng Duy, Văn Thanh, Lê Đức Lương... Lê Văn Trường quyết định dứt áo ra đi. Bến đỗ tiếp theo mà thủ thành người Vĩnh Phúc này lựa chọn chính là CLB Khánh Hòa.
Ở một đội bóng tân binh như Khánh Hòa, khi sự cạnh tranh là chưa thực sự gắt gao, Lê Văn Trường đặt mục tiêu giành lấy vị trí số 1 trong khung gỗ. Tuy vậy, đây là điều không hề dễ dàng khi anh sẽ phải cạnh tranh với đàn anh Nguyễn Hoài Anh - một thủ thành dày dạn kinh nghiệm tại V.League và có chiều cao ấn tượng lên tới 1m85.